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Cómo enseñar matemática y no morir en el intento (por Susana Gallardo):Expertos en didáctica de la matemática proponen nuevos enfoques para elevar el nivel de la enseñanza. Pero la formación de los docentes sigue siendo un factor clave.La matemática es una de esas materias con fama de "difícil". Muchos le temen, y más de uno debió abandonar la carrera elegida porque "no pudo" con ella. De hecho, es una disciplina medular no sólo en las carreras de matemática o de física, sino en meteorología, ingeniería, ciencias económicas, y muchas otras.

La profesora Patricia Sadovsky, investigadora del Centro de Formación e Investigación en Enseñanza de las Ciencias (CEFIEC), de la Facultad de Ciencias Exactas y Naturales de la UBA, anticipa que no hay una receta, ni tampoco una clave. Pero la investigación en el área de la didáctica de la matemática puede aportar algunas ideas.

En la enseñanza tradicional, a los chicos se les impartía un concepto, por ejemplo la regla de tres simple, y luego se les daba una serie de problemas donde tenían que aplicar el concepto aprendido.

En el nuevo enfoque, en cambio, se busca desarrollar actividades en el aula en las cuales el alumno, por un lado, deba tomar decisiones acerca de los conceptos que tiene que utilizar para resolver una situación, y, por otro lado, se haga cargo de validar por sí mismo la producción que ha realizado. Para Sadovsky, el proceso de construcción de un conocimiento matemático comienza a partir del conjunto de actividades intelectuales que el alumno pone en juego frente a un problema para cuya resolución le resultan insuficientes los conocimientos de los que dispone hasta el momento.

"Otro aspecto que resulta esencial es que los chicos aprendan a ‘moverse’ entre diferentes formas de representación para abordar un problema, que sean capaces de seleccionar aquélla que resulte más fértil para resolver la situación que se les propone; que puedan, por ejemplo, plantear de manera algebraica un problema geométrico o que se den cuenta de que a veces la representación gráfica de un conjunto de ecuaciones provee bastante información respecto de la solución de ese sistema", señala Sadovsky.

Un chico no aprende a pasar de una representación a otra en forma espontánea, sino que es el docente el que debe propiciar este trabajo. Generalmente, en la enseñanza tradicional, el tipo de representación que se utiliza viene dado en el enunciado mismo del problema, el alumno no decide nada al respecto.

La idea central en este enfoque es que el alumno "capte" el sentido de un concepto, es decir, que entienda qué tipo de problemas puede resolver a través de él y cuáles no puede resolver si lo usa. Además, que sepa cómo juega ese concepto junto con otros conceptos cercanos que se emplean para resolver problemas más o menos similares.

Es fundamental que el alumno pueda recuperar los conceptos y aplicarlos en otras situaciones. "La resolución de problemas es central, pero si en la clase no se reflexiona acerca de ellos, no se confrontan distintas estrategias producidas por los diferentes alumnos, no se alienta a los estudiantes a que propongan argumentos que muestren la validez de sus resultados, no se los invita a revisar lo que se ha hecho hace algún tiempo y relacionarlo con lo que se está haciendo en ese momento, es difícil que los alumnos puedan transferir los conceptos aprendidos a situaciones nuevas", subraya la investigadora.

En muchas clases de matemática, los alumnos resuelven ejercicios que vienen formulados en una guía y las únicas interacciones que se propician se limitan a corregir los resultados. La falta de discusión, de debate, empobrece la actividad del aula. La explicitación hace posible tomar conciencia del conocimiento, permite nombrarlo, hacerlo público y hablar de él. Defender el propio punto de vista en una situación en la que se confrontan diferentes perspectivas compromete al estudiante en la producción de argumentos que no se elaborarían si sólo tuviera que convencerse a sí mismo de la validez de sus resultados.

Las constataciones de tipo empírico (medir, probar con ejemplos) comenzaron a tener un lugar preponderante, dejando de lado un aspecto esencial de la actividad matemática. En cambio, ahora se tiende a proponer situaciones didácticas a través de las cuales los alumnos puedan darse cuenta de que no siempre las comprobaciones empíricas permiten decidir o estar seguro.

Sadovsky enfatiza que hay rasgos esenciales del quehacer matemático que la escuela tiene la obligación de hacer conocer. "Construir herramientas que permitan obtener resultados sobre aspectos de la realidad sin necesidad de realizar experiencias efectivas, y responsabilizarse matemáticamente por la validez de esos resultados, son dos aspectos ineludibles del quehacer matemático escolar", afirma. Dicho de otro modo, el chico, ante una situación, se hace preguntas, toma decisiones, encuentra límites, hace propuestas, decide la forma de representación, y, finalmente, fundamenta sus resultados, de un modo aproximado a como lo haría un matemático.

Sadovsky hace una aclaración: "No estamos obviando el papel del docente que enseña y explica. La idea es que el docente proponga una situación y explique cuando se ha generado una necesidad, luego de que los chicos vieron que las herramientas de las que disponían son insuficientes para resolver el problema".

Está claro que el docente requiere una preparación especial. En la enseñanza tradicional se enseña aquello que es fácilmente controlable y evaluable. En cambio, en este nuevo enfoque se plantean situaciones abiertas, y el docente tiene que estar dispuesto a que afloren en el aula diversidad de propuestas, algunas correctas, y otras, no. Gestionar esta diversidad es, sin duda, una tarea compleja.

"Es importante disponer de un docente formado, y que haya un contacto profundo entre la investigación y la capacitación docente", recalca Sadovsky.

"Es fundamental que la persona que enseña una disciplina tenga pasión por ella, y por supuesto, un conocimiento profundo", afirma Fava, y subraya: "Se necesita vocación, interés, compromiso y conocimiento. Nadie puede enseñar lo que no conoce".

Fava aclara que también es necesario tener un conocimiento de los métodos que propone la didáctica, pero que el profesor pueda adaptarlos a cada situación.

"La enseñanza de la didáctica y de las materias disciplinares, en los países desarrollados, se complementan, pero aquí en la Argentina no parece ocurrir lo mismo", indica Fava.

En muchos países la formación de los profesores secundarios está a cargo de la Universidad. Los futuros profesores están, de ese modo, en contacto con los investigadores. En nuestro país, en cambio, la formación de docentes está a cargo de institutos terciarios.

Para Fava existen ciertos intereses corporativos que no contribuyen al mejoramiento del nivel de enseñanza. "Nuestros alumnos jóvenes de la universidad no pueden ir a enseñar, ni siquiera en las últimas etapas de la escuela secundaria, porque no han estudiado didáctica", afirma. Lo ideal, para él, es que un licenciado, si tiene aptitud y vocación para transmitir sus conocimientos, pueda enseñar en la escuela media.

"Los intereses corporativos predominan en el funcionamiento de las instituciones que forman profesores de enseñanza media, cautelosamente encerradas en sí mismas y alejadas de la universidad", recalca el investigador.

Para Fava es interesante abordar la enseñanza de la matemática haciendo que el alumno tenga una participación más activa, pero propone que ese mismo método se aplique en la formación de profesores. "Uno tiende a enseñar en la modalidad en que ha aprendido", señala.

Según el matemático, la clave de una buena enseñanza está en la formación del docente. Y en la Argentina, ésta es muy deficiente. "Es lamentable que sigamos pensando en cursos de perfeccionamiento para docentes, y que nadie se preocupe por formarlos bien, para que no necesiten esos cursos", enfatiza.

Fava es reconocido, en el ámbito universitario, como muy buen docente. ¿Cuál fue la clave? "Un elemento motivador que encontré fue el relato del contexto histórico en que se desarrollaron las ideas, la lucha de tendencias, las visiones distintas y los enfrentamientos entre distintas escuelas. Son factores que motivan porque marcan la evolución de las ideas".

Parecería no haber recetas mágicas para lograr que los alumnos aprendan. Y tampoco una sola clave, sino muchas. Una, sin duda, es revalorizar la función del docente, en cuanto a su formación y también en cuanto a su retribución. Esto parece obvio y remanido, pero es una realidad que al docente, además de que el salario es muy bajo, se le pagan sólo las horas que está frente a los alumnos, y no el tiempo que emplea en preparar las clases o en corregir las evaluaciones, que representan el doble o el triple del tiempo de clase.

Además, resulta importante darle a la disciplina un enfoque diferente al tradicional, en el cual el conocimiento aparecía como algo "hecho" y "cristalizado". Que los chicos tengan conciencia de que el conocimiento es algo que se hace, se construye, mediante el ensayo y el error, y que ellos, de alguna manera, puedan reproducir lo que hicieron otros hombres, parece un paso importante.

Sadovsky relata una pequeña escena que tuvo lugar en una escuela. En una clase de 7º grado se planteó el siguiente problema: "Tenemos 100 ruedas entre bicicletas y triciclos, ¿cuántas bicicletas y cuántos triciclos hay?"

Los alumnos trabajaban por parejas. Un alumno hizo el siguiente planteo: 3x + 2x = 100, entonces, 5 x = 100, x = 20. Luego dijo: "hay 20 triciclos y 20 bicicletas". A partir de ahí se produjo el siguiente diálogo entre él y su compañero:

(Anibal, el alumno que planteó la ecuación; Carlos, su compañero)

Carlos: Me parece que hay más soluciones

Anibal: No, porque si hubiera más soluciones la ecuación te lo diría.

Luego de unos minutos, el docente pregunta por la solución del problema. Los alumnos hacen diferentes propuestas a partir de las cuales Carlos y Anibal se dan cuenta de que el problema admite más de una solución. Entonces dialogan entre ellos.

Anibal: No me doy cuenta por qué esta ecuación no me sirve.

Carlos: Porque al poner x y x estamos suponiendo que la cantidad de triciclos y bicicletas es la misma, pero hay otras posibilidades.

Anibal: entonces no hay que poner x y x, hay que poner dos letras distintas.

Luego de que los alumnos verificaron las distintas soluciones propuestas, la profesora pregunta cuántas soluciones hay. Algunos alumnos habían hecho una tabla con las diferentes soluciones, dándose cuenta de que, para "moverse" de una solución a otra, tenían que sacar dos triciclos y agregar tres bicicletas.

"Lo mínimo que podés mover son 6 ruedas", dice un alumno.

Los chicos cuentan la cantidad de soluciones. Una alumna dice: "Tiene que haber una cuenta, para saber la cantidad de soluciones, porque si hubiera mil soluciones, no podríamos contarlas una por una"

Otro chico propone: "Hay que hacer 96 dividido 6, que da 16. Si admitimos que no haya triciclos y sean todas bicicletas, hay 17 soluciones, si no, hay 16".

La docente estaba desconcertada. En el aula había surgido una forma de pensar la cantidad de soluciones que no había sido prevista

por ella. Ahora se planteaba un nuevo problema para todos: saber si esa forma de contar las soluciones era o no correcta.

El problema dio lugar a diferentes ideas que fueron objeto de discusión.Claro, el docente debe estar preparado para enfrentar esa diversidad y tomarse su tiempo para pensar, sin detrimento de su imagen.